Đời sống

Bảng đạo hàm đầy đủ và một số bài tập đạo hàm

Những bài tập liên quan đến đạo hàm là dạng bài tập cơ bản và phổ biến nhất với học sinh cấp ba. Tuy nhiên, ngoài phục vụ mục đích học tập, thi cử thì đạo hàm còn có thể ứng dụng vào nhiều lĩnh vực khác nhau của cuộc sống. Bài viết dưới đây sẽ mang đến bảng đạo hàm đầy đủ đế giúp bạn nắm được nguyên tắc giải quyết tất cả vấn đề khó khăn liên quan đến đạo hàm.

Đạo hàm là gì?

Lý giải về đạo hàm

Về cơ bản, theo giải tích toán học, đạo hàm của hàm số mô tả sự biến thiên của hàm số tại một điểm. Đây là phép toán ngược lại với tích phân, là một trong hai khái niệm cơ bản nhất của giải tích.

Với hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0 (a:b), đạo hàm được định nghĩa là giới hạn hữu hạn của tỷ số fx-f(x0)x-x0 khi x 🠦x0, giá trị này là đạo hàm của hàm số tại x0. Kỹ hiệu đạo hàm là f’(x) hoặc y’(x0).

f’(x0) = fx-f(x0)x-x0

Đặt x – x0 = ∆x; f(x0 + ∆x) – f(x0) = ∆y, ta có:

f’(x0) = ∆y∆x∆x là số gia của đối số tại x0; ∆y là số gia tương ứng của hàm số.

Đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x0 nếu f(x0) = f(x) . Hàm số này liên tục tại x0 khi thỏa mãn đồng thời cả ba điều kiện:

  • Hàm số f(x) xác định tại giá trị x0
  • f(x) tồn tại
  • f(x0) = f(x)

Ta có định lý: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì hàm số liên tục tại điểm đó.

Điều này tương đương với khẳng định rằng hàm số y = f(x) gián đoạn tại điểm x0 khi hàm số không có đạo hàm tại điểm đó. Mệnh đề đảo của định lý này không chính xác vì một hàm số có thể liên tục tại một điểm trong giới hạn xác định của hàm số mà không có đạo hàm tại điểm đó.

Ứng dụng thực tế của đạo hàm

  • Ứng dụng trong Hình học

Đạo hàm được ứng dụng đa dạng trong Hình học.

Về mặt học tập, đạo hàm được sử dụng trong các bài toán về xác định tiếp tuyến của đường cong thẳng. Đề bài cho đường cong thẳng (C), điểm cố định M0 và điểm di động M trên (C). Khi đó đoạn M0M là cát tuyến của (C).  Nếu đường cát tuyến này có vị trí giới hạn là M0T khi M di chuyển trên (C) tiến tới M0. Ta có M0T là tiếp tuyến của (C) tại điểm cố định M0. Đạo hàm trong trường hợp này có thể xác định hệ số góc của tiếp tuyến M0T.

Ngoài ra, cũng có thể ứng dụng đạo hàm để giải quyết các vấn đề thực tế hơn như từ một miếng tôn ban đầu cần cắt như thế nào để nguyên liệu làm chiếc hộp có thể tích lớn nhất, tính vị trí và độ dài thang để chạm đến vị trí ở trên cao, xác định độ dài rộng tối thiểu khi cho thể tích cố định,…

  • Ứng dụng trong Vật lý

Ứng dụng nổi bật nhất của đạo hàm trong vật lý là để xác định vận tốc tức thời, vận tốc chuyển động lớn nhất và nhỏ nhất. Đồng thời, phép toán này cũng được áp dụng linh hoạt để giải bài toán xác định giá trị cực đại của các đơn vị trên mạch điện, xác định những yếu tố về thời gian, vận tốc để đảm bảo năng lượng tiêu thụ là thấp nhất,…

  • Ứng dụng trong Kinh tế

Trong Kinh tế, áp dụng đạo hàm có thể giúp bạn xác định cần thay đổi những yếu tố, giá trị nào để thu về lợi nhuận lớn nhất. Tùy trường hợp, các yếu tố có sẵn sẽ là giá nguyên liệu, nhân công, số lượng sản phẩm, giá trị sản phẩm hay nguồn đầu tư, chiết khấu,….

  • Ứng dụng trong những lĩnh vực thực tế khác:

Ngoài ra, đạo hàm còn được ứng dụng trong nhiều môn tự nhiên khác như Sinh học, Hóa học, Y học hoặc các lĩnh vực đa dạng của đời sống như trong thể thao, kỹ thuật máy tính, thủy lợi, xây dựng,…

Bảng công thức đạo hàm đầy đủ

Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa

Phương pháp này dựa trên định nghĩa đạo hàm đã được đề cập ở trên để tính giá trị đạo hàm. Cần thực hiện theo các bước sau đây:

Bước 1: ∆x là số gia của đối số tại x0, tính giá trị ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0);

Bước 2: Lập tỉ số giữa ∆x và ∆y 🠦 ∆y/∆x

Bước 3: Tính f’(x0) = ∆y∆x

Bảng đạo hàm cơ bản

Một số quy tắc cơ bản của tính đạo hàm và đạo hàm số hợp:

Bảng đạo hàm của các hàm số cơ bản, hàm số thường gặp:

Bảng đạo hàm cấp cao

Bảng đạo hàm lượng giác

Bảng đạo hàm của các hàm lượng giác cơ bản và hàm lượng giác ngược:

Một số bài tập cơ liên quan đến đạo hàm

Dưới đây là một số dạng bài tập về đạo hàm của hàm số:

Dạng 1: Tính đạo hàm của hàm số

Bài 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa

  1. a) f(x) = x2 – 3x + 1 với x0 = 3
  2. b) f(x) = 2x-x2 với x0 = 1

Bài 2: Tính đạo hàm của những hàm số dưới đây

  1. a) y = (2x-3)(x5 – 2x)
  2. b) y = x4 – 2x + 3x -8
  3. c) y = x(3x – 1)(2x +2)
  4. d) y = 2x-1x+3
  5. e) y = 32x-5
  6. f) y = sin x x + xsin x
  7. g) y = sin x – cos x + tan x

Dạng 2: Giải phương trình khi đạo hàm y’=0

Đề bài: Giải phương trình y’ = 0 khi biết

  1. a) y = x2x-1
  2. b) y = x3 – 3x2
  3. c) y = 2x2+xx+1

Dạng 3: Ứng dụng đạo hàm để giải bài tập liên quan

Bài 1: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 3x2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) khi:

  1. a) Tiếp tuyến của (C) có hệ số góc k = 9
  2. b) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 1/3 x

Bài 2: Cho hàm số y = 1-x-x2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong trường hợp:

  1. a) Đồ thị qua điểm có hoành độ x0 = 1/2
  2. b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d: x +2y = 0

Bài 3: Cho hàm số y = x  – x 1+ sin x x . Hãy chứng minh y.dy – cos 2x .dx = 0

Bài 4: Cho tấm bìa có kích thước a x b với a là chiều rộng, b là chiều dài. Cần cắt bỏ 4 miếng hình vuông đều nhau ở các góc để gấp thành hình hộp chữ nhật không nắp. Hỏi để thể tích hộp lớn nhất thì cạnh hình vuông cần cắt đi là bao nhiêu?

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *